Мищенко А.С., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Метод канонического оператора Маслова. Комплексная теория

Учебное пособие. — М.: Московский институт электронного машиностроения (МИЭМ), 1974. — 228 с.Книга посвящена разработке комплексного варианта метода канонического оператора Маслова построения асимптотических решений (псевдо) дифференциальных уравнений с комплексными характеристиками.
Не вдаваясь в сущность метода Маслова (комплексной реализации которого и посвящена настоящая работа), отметим его универсальность. Действительно, в соединении с А-формализмом, метод канонического оператора работает в таких казалось бы далеких друг от друга областях, как квазиклассическая асимптотика квантовой механики и проблема устойчивости разностных схем, задача о распространении «в большом» разрыва решений гиперболических уравнений и коротковолновая асимптотика в задачах дифракции, распространение волн в ионосфере и проблема существования и единственности в общей теории псевдодифференциальных уравнений. Более того, метод канонического оператора вскрыл топологическую природу известного эффекта о скачке фазы якобиана при переходе через фокальную точку. В работе был вычислен характеристический класс, входящий в условия квантования и реализующий так называемый индекс Маслова на лагранжевом многообразии. Книга вызвала большой резонанс как в Советском Союзе, так и за рубежом.Предисловие.
Введение.
Анализ и топология комплексных лагранжевых многообразий.
Анализ на s-аналитических многообразиях.
Основные определения.
Операторы сужения и продолжения. Разбиение единицы.
Структурные кольца. Векторные поля и формы.
Касательное расслоение.
Неособые вещественные подмногообразия s-аналитических многообразий.
Семейства неособых вещественных подмногообразий s-аналитического многообразия.
Симплектическая геометрия комплексного фазового пространства.
Лагранжевы плоскости.
Положительные лагранжевы плоскости.
Лагранжевы s-аналитические многообразия.
Правильные лагранжевы s-аналитические многообразия.
Асимптотика решений уравнений с комплексным гамильтонианом.
Асимптотика интегралов быстроосциллирующих функций.
Формула асимптотического разложения интеграла быстроосциллирующей функции с комплекснозначной фазой.
Метод осциллятора для асимптотического разложения интеграла.
Вычисление членов асимптотического разложения (аналитический случай).
Применение к неаналитическому случаю и лагранжевым многообразиям.
Канонический оператор на s-аналитическом комплексном лагранжевом многообразии.
Существование и единственность канонического оператора.
Гамильтонов формализм и операторы P[\sub](U, I)[/sub].
Коммутация оператора Гамильтона и канонического оператора.
Геометрическая интерпретация операторов VI J и канонического оператора.
Канонический оператор на семействах неособых вещественных подмногообразий s-аналитического многообразия.
Некоторые приложения.
Асимптотические решения задачи Коши для уравнений с комплексным гамильтонианом.
Асимптотика спектра 1/h-псевдодифференциальных операторов.
Добавления.
1/h-преобразование Фурье.
Одна абстрактная лемма.
Литература.